Математически модел на финансовите пазари

1. Ограничени цикли . 2. Oграничен цикъл във времето . 3. Влияние на шока върху динамичната структура на системата . 4. Реакция на системата след получаване на информационен шок . 5. Реакция на системата след получаване на информационен шок във времето . 6. Изменение на абсолютните цени във времето . 7. Ценови пулс . 8. Логаритмичната спирала . 9. Числата на Фибоначи и златното сечение . 10. Основни съотношения на Златната спирала . Известно е, че съществуват много случаи, в които цените на акциите на определена компания нарастват или намаляват твърде много без нейното финансово състояние да се е променило съществено. Тези промени класическата икономика и в частност фундаменталния анализ не могат да обяснят. Изучаването на груповото поведение на инвеститорите като част от Техническия анализ ни помага значително по-добре да си обясним движението на цените на финансовите пазари. Фундаменталния анализ и Техническия анализ чудесно се допълват. Фундаменталният анализ дава много точно определение за стойността на една стока. За цената пък казва, че е паричен израз на стойността и че зависи от търсенето и предлагането. Но това изобщо не е достатъчно за да обясни ценовите движения. Техническия анализ пък много добре обяснява ценовите движения на финансовите пазари, но нищо не казва за стойността на стоките и активите, които се търгуват. Извода е ясен – Фундаменталният анализ ни показва какво да купуваме и какво не, а Техническият анализ кога да го купим и кога да го продадем. Ако си служим само с методите на класическата икономика въобще не е чудно, че икономическите прогнози няма да могат да предвидят с точност нито нивата, при които пазарните цени ще се сменят, нито времето когато пазарите ще изменят характера си. Финансовите пазари са бързодвижещи се, непрекъснато вибриращи (колебаещи се) отражения на процесите на трансформация и промяна. Те не могат да се дефинират чрез статични понятия и линейни зависимости. Това означава, че практическата стойност на икономиката се свежда до осигуряването на най-общи прогнози, по които се съди за текущите нива на пазарните цени. Техническия анализ приема динамичната структура на финансовите пазари. Той не взема под внимание фундаменталните стойности, защото се предполага, че инвеститорските очаквания относно тези стойности ( и много друга информация ) са вече отразени (калкулирани) в цените. Това означава, че на практика финансовите пазари винаги ще се опитват да предвиждат бъдещето и следователно промените в цените на борсата ще предшестват промените във фундаменталните условия. Например, често се случва инвеститорите да пресмятат бъдещия дивидент и да го включват в цените на акциите, преди той да е реално инкасиран. Като взема в предвид груповото поведение на инвеститорите, специфичната реакция на групата при получаване на информационен шок, вътрешните цикли на борсовите групи и  наличието на обратна връзка между борсови цени и членовете на групата, Техническият анализ създава един математически модел, който много точно обяснява ценовите движения на финансовите пазари. 1. Ограничени цикли . Теорията на ограничените цикли е много сложна, както и другите раздели на математиката, които ще се засегнат, при съставяне на математическия модел. Затова ще допуснем едно силно опростяване на понятията, формулите и зависимостите, дори с риска те да не бъдат формулирани много точно, но  да бъдат поне разбираеми дори и за тези, които не обичат математика. Една функция има ограничен цикъл, когато нейния аргумент и тя самата се изменят в определени граници и по някаква причина този аргумент започва да се изменя в обратна посока веднага щом достигне една от границите. Пример за една такава функция може да бъде зависимостта между скоростта на движение V на едно махало, когато върху него е приложена някаква сила F и разстоянието X до неговата равновесна точка „О”, показани на фиг. 1. Фиг. 1 Когато махалото се намира в крайна дясна точка +Х1 скоростта е V+ = 0, след което махалото сменя посоката на движение и започва да се движи в обратна посока.      Следва увеличаване на скоростта, но тъй като е в обратна посока ще я бележим със знак V-. Преминава през равновесната точка Хо , където V- =Vmax и продължава към точка  - Х1, където V- = 0. Махалото отново сменя посоката си и новата скорост е V+. Преминава през равновесната точка Хо, където V+ = Vmax, т.е. отново придобива максималната си скорост, но вече в посока на дясно и достига точка +Х1. Тук V+ = 0, посоката на движение се сменя и цикъла се повтаря. Графичната зависимост между функцията V и аргумента X е представена на фиг. 2. Фиг. 2 В случая тя е начертана като окръжност. В общия случай тази зависимост е елипсовидна, което се вижда от основното уравнение на махалото: F = - kx Като преобразуваме тази формула получаваме: Интегрираме последното уравнение от двете страни: Откъдето: Или: Използваните величини са както следва: F – силата, която действа на махалото k – пропорционална константа x – разстоянието, на което е отместено махалото m – масата на махалото a – ускорението на махалото C – интеграционна константа v - скоростта на махалото От последното уравнение се вижда, че скоростта на махалото V (промяната на X) е пропорционална на квадрата на отместването X. Следователно зависимостта е или хиперболична или елипсовидна. Хиперболична не е, защото махалото се движи в ограничено пространство. Остава тази зависимост да е елипсовидна. Засега ще си мислим, че зависимостта е окръжност за да не усложняваме излишно разсъжденията в момента. Да разгледаме  фиг 2 . По хоризонталната ос е нанесено разстоянието Х на махалото до неговия център, а по вертикалната ос – скоростта V. В точките +Х1 и –Х1 скоростта V e равна на нула, защото махалото спира да се движи, а в точката Хо скоростта и в двете посоки е равна на максималната, благодарение на което, то продължава да се движи още известно време в същата посока. Зависимостта между очакванията на инвеститорите и процентното нарастване на цените също има характера на ограничен цикъл. Следователно, зависимостта между очакванията на инвеститорите и процентното увеличение на цените ще има същия характер, както зависимостта на скостта V, с която се движи махалото и отместването му X от центъра. Под “очакване на инвеститорите” трябва да се разбира тяхното очакване за повишаване или намаляване на цените на определен вид акции. Обръщаме внимание, че става въпрос не за абсолютното нарастване на цените, а за процентното т.е. за скоростта на изменение на цените. Процентно изменение на цените е дадено във формула (1). Формула 1                                                                     където: V(%)  e процентното изменение на цените, Р1     е цената днес Р2     е цената вчера    С индекса “ Р ” ще означаваме абсолютната (реалната) цена, за разлика от V%, с който означаваме процентното изменение на цените. Зависимостта между цени и очаквания е показана на фиг. 3. Графиката е начертана, като окръжност, за опростяване на изложението, но истинската й форма е елипса. Фиг. 3 По хоризонталната ос е нанесен аргумента Х, който съответства на очакванията на инвеститорите, а по-вертикалната ос процентното увеличение на цените. Числената стойност на величината V(%) e в проценти, а числената стойност на величината Х се определя като разлика в броя на инвеститорите с различни очаквания. Когато броя на инвеститорите очакващи увеличаване на цените е равен на броя на инвеститорите очакващи намаляване на цените, величината  х става Х=0. Когато броя на инвеститорите очакващи увеличаване  на цените е по-голям от броя на инвеститорите очакващи намаляване на цените, величината Х  е равна на разликата им със знак (+), а когато броя на инвеститорите очакващи увеличаване на цените е по-малък от броя на инвеститорите очакващи намаляване на цените, величината Х е равна на разликата им със знак (-). Така величината Х всъщност определя резултантното очакване на всички инвеститори. Когато говорим по-нататък за очакванията на инвеститорите ще разбираме именно това резултантно очакване на всички инвеститори.      Когато очакванията за увеличаване на цените нарастват, величината Х също нараства в положителна посока, достига границата + Х1 и повече не може да нараства. Когато очакванията за намаляване на цените нарастват, величината Х също нараства, но в отрицателна посока и достига границата – Х1. Тези граници съществуват, защото броя на инвеститорите, които следят определен вид акции е ограничен, а заедно с това и общия паричния ресурс, който евентуално ще вложат е също ограничен. Той може да е много голям – в размер на десетки и стотици милиони долари, но все пак е ограничен, а не безкрайно голям. Затова и влиянието върху цените е също ограничено. Един вид акции могат да променят цената си десетки и дори стотици пъти, но все пак тази промяна е ограничена, а не безкрайно голяма. Ето защо зависимостта между очакването на инвеститорите и промяната на цените има формата на “ограничен” цикъл, а защо на цикъл – ще видим в следващите редове. Когато инвеститорите очакват цените да се увеличат, те започват да търсят и купуват акции. Следователно големината на величината Х, когато се изменя в положителна посока е пропорционална на очакванията на инвеститорите за повишаване на цените, а числено е равна на броя акции, които те са готови да купят. Тук дефинираме величината Х още по-прецизно, защото влиянието върху пазара на един инвеститор, който купува 1000 акции е по-различно от това на друг инвеститор, който купува 10 акции. С други думи казано величината Х в този случай определя големината на “бичия отбор”, но не толкова като броя инвеститори, а като ресурса, който те са готови да използват за покупка на акции. Когато инвеститорите очакват цените да се понижат те предлагат акциите си за продажба. Следователно големината на величината Х, когато се изменя в отрицателна посока е пропорционална на очакванията на инвеститорите за понижение на цените, а числено е равна на броя акции, които те са готови да продадат. Може да се каже, че Х в този случай определя големината на “мечия отбор” но не толкова като броя инвеститори, а като ресурса, който те са готови да използват за продажба на акции. Нека да проследим процесите, които протичат на финансовите пазари като предположим, че току що сме преминали точката – Х1 на графиката от фиг. 3 и се движим в посока на дясно. Това съответства на случая, когато мечата група е достигнала своята зрелост и започва да се разпада. Когато коментирахме груповото поведение на инвеститорите от мечия отбор, отбелязахме че в този момент всички вече са си продали акциите, а професионалистите започват да купуват. Започва формиране и ръст на бичия отбор за сметка на мечия. Както знаем цените се определят от търсенето и предлагането. След като вече има търсене на пазара, цените започват да растат, както се вижда и от графиката. Когато започнат масови покупки достигаме точката Хо, където процентното увеличаване на цените е най-високо. На графиката в този момент е дадено Хо=0, защото броя на мечките и броя на биковете е приблизително изравнен, а – Х1 преминава в + Х1 . От точката Хо нататък процентното увеличение започва да намалява, обаче абсолютните цени продължават да растат. Ще поясним това с числен пример: Ако в точка Хо,  +V(%)= 5% , a цените на акциите Ро = 100 USD, то следващите изменения са както следва:  Р1 = 105 USD, Р2 = 110 USD,  Р3 = 115 USD и т. н., защото 5% върху 100 са 5 USD. Ако след това процентното увеличение се намали на  +V(%)= 3%, то абсолютното увеличение ще стане:  Р4 = 118 USD, Р5 = 121 USD,  Р6 = 124 USD и т. н. Процентното увеличение започва да намалява, защото броя на потенциалните инвеститори, които са дезертирали от мечата група и предстои да станат членове на бичата група и да потърсят акции с цел да ги купят намалява. Отново числен пример: Ако броя на инвеститорите, които са чувствителни към определен вид акции е 1000 души и вече 600 от тях са си купили акции, то тези които са потенциални купувачи са вече 400 души. Търсенето вече е по-малко, а от там и процентното увеличение по-малко. Когато достигнем точката + Х1, процентното увеличение става V(%)= 0 %. Абсолютните цените в този момент са най-високи и спират вече да растат. Важно! В точката + Х1 бичата група е в своята зрелост. Броя на нейните членове е максимален и вече на практика няма от къде да дойдат нови членове. Няма кой вече да търси и купува акции, защото всички които желаят да си купят акции вече са го направили! След като вече няма кой да търси акции цените спират да растат и на борсата се установяват максималните абсолютни цени. Професионалистите разпознават този момент и като знаят, че цените вече няма да растат започват да предлагат своите акции за продажба. След като вече няма търсене, а само предлагане, естествено цените започват да намаляват. Важното в случая е, че намаляването на цените става не защото са се влошили икономическите показатели на дружеството, а защото на пазара има само продавачи, a купувачи липсват!   Ако продължим да проследяваме графиката на фиг. 3 след точка + Х1, виждаме, че движението е вече в обратна посока, т.е. наляво. Това се дължи на факта, че величината Х започва да намалява, защото професионалистите вече напускат групата на биковете. Групата на биковете се намира във фаза на упадък. В този момент се създава нова група – групата на мечките, които желаят да продадат своите акции. Процентното намаляване на цените V(%), вече отбелязано като –V, започва да се увеличава. С други думи намаляването на цените става с все по-високи темпове. Най-високата стойност на V(%) е в точката Хо, защото започват масови разпродажби. След тази точка процентното намаляване на цените започва да намалява, защото потенциалните кандидати за мечата група намаляват. Числен пример: Ако в точка Хо   -V(%)= 5% , a цените на акциите са Ро = 100 USD, то следващите изменения са както следва: Р1 = 95 USD, Р2 = 90 USD,  Р3 = 85 USD и т. н., защото 5% върху 100 USD са 5 USD. Ако след това процентното намаление се намали на  V(%)= 3% , то абсолютното намаление ще стане  Р4 = 82 USD, Р5 = 79 USD,  Р6 = 76 USD и т. н. Виждаме, че процесите на графиката, когато се движим от дясно на ляво са аналогични на тези от ляво на дясно само че с обратен знак. Когато достигнем точката – Х1, това означава че мечата група е във фаза на зрелост и броя на нейните членове е максимално голям. Всички които са искали да продадат акции вече са го направили и няма кой повече да продава акции. Професионалистите разпознават този момент и като знаят, че цените вече няма да се намаляват, започват да купуват очаквайки цените да се покачат. Важното в случая е, че покачването на цените става не защото са се подобрили икономическите показатели на дружеството, а защото на пазара има само купувачи - продавачи липсват!  Отново достигнахме точката – Х1, а от тук нататък процесите циклично се повтарят. Сега, когато показахме и цикличността на процеса вече се убеждаваме, че зависимостта между очакванията на инвеститорите и процентното изменение  на цените има характера на ограничен цикъл. За да не разводняваме по-горе казаното, тук ще направим едно важно уточнение. Имаше моменти, в които казахме, че на пазара има само купувачи, а няма продавачи и обратното. От друга страна знаем, че една сделка се осъществява само ако срещу купувачите има и продавачи. Затова трябва да споменем и ролята на маркетмейкърите. Маркетмейкърите са големи банки или инвестиционни посредници, които винаги купуват и винаги продават, т.е. те правят пазара. Те печелят от моментната разлика (спред) между цените “купува” и “продава”. Когато пазара е спокоен този спред е малък за да се насърчи оборота, а когато е по-динамичен спредът се увеличава за да се предпазят от загуби. Маркетмейкърите поддържат стриктно един предварително зададен баланс от определени акции. Ако в определен момент купувачите са много повече от продавачите, броят на акциите в тяхната кошница започва да намалява и баланса се нарушава. Тогава те повишават едновременно и цената “купува” и цената “продава”, като запазват спреда. По този начин те насърчават инвеститорите повече да продават и по-малко да купуват. Ако баланса не се възстанови, цените се повишават още. Обратно – ако броя на продавачите е по-голям маркетмейкърите постепенно намаляват цените докато потока на купените акции се изравни с потока на продадените. По този начин често се случва именно маркетмейкърите да са катализатор на промяната на цените. Те са и оня буфер, който временно може да задоволи пазара, ако там има само продавачи или само купувачи. И още нещо. Разсъжденията за процесите, които се развиват на пазара при разглеждане на ограничения цикъл имат принципен и предимно качествен характер и затова са в известна степен усреднени. Предстои по-прецизно и по-подробно разглеждане на тези процеси. 2. Oграничен цикъл във времето . Досега разглеждахме процесите, които се развиват на финансовите пазари в една плоскост определена от две оси – промяна в процентното изменение V(%) и промяна в очакванията на инвеститорите Х (броя). На фиг. 4 е дадена графичната зависимост между очаквания и промяна на цените във времето. Координатните оси са изчертани с оранжеви линии, като времето е нанесено по третата координатна ос с тънка прекъсната линия . Фиг. 4    Първото, което ще отбележим е, че зависимостта между очаквания и промяна на цените вече не е окръжност, а елипса при това наклонена надясно. Наклонената елипсата отразява по-точно психологичната нагласа в групата на мечките и групата на биковете. Наклона на елипсата се дължи на факта, че очакванията на бичите пазари се влошават малко преди цените да започната да паднат (по-дебелата пунктирна линия пресичаща т. +X1 на фиг. 4), защото увеличението на цените в този момент е слабо и поражда съмнение за по-нататъшния им ход. На мечите пазари от своя страна очакванията се подобряват малко преди цените да започнат да се покачват (по-дебелата пунктирна линия пресичаща т. -X1 на фиг. 4), защото намалението на цените в този момент е слабо и поражда съмнение за по-нататъшния им ход. На фиг. 4 вече има три оси и всяка от тях има определена посока – положителна отбелязана със знак (+) и отрицателна отбелязана със знак (-). Нека сега да се концентрираме върху третата ос – оста на времето и мислено да си представим как  елипсатa се премества паралелно сама на себе си по тази ос. Tози процес е показан на  фиг 5. с  дебела плътна стрелка. Ще се получи една пространствена фигура – цилиндър. Върху този цилиндър със синя линия е изчертана зависимостта между цени и очаквания, което е в следствие на движението на елипсата във времето. Виждаме, че елипсата разгърната във времето се превръща в спирала. Фиг. 5 Следващата стъпка е да проектираме цилиндъра в равнината определена от промяната на цените – оста V%  и времето – оста Т. За да си го представим по-лесно нека да си мислим, че сме “смачкали” цилиндъра в равнината определена от осите V% и Т, а решенито, което беше спиралната линия на фиг. 5 се е отпечатало в тази равнина. Получава се фигура 6. Фиг. 6 По вертикалната ос е нанесена промяната на цените в  %, а не абсолютните цени и затова все още използваме буквата V, която е символ за промяна, а не Р, с което отбелязваме абсолютните цени. По хоризонталната ос е нанесено времето в поредни дни. Получаваме една периодична(повтаряща се) крива, която в частен случай може да бъде и синусоида. Периода е 24 дни (случайно подбран), след което кривата започва да се повтаря. Периода се измерва с броя на дните между два върха или между два дола. Виждаме още, че върховете (най-високите цени) се намират на едно и също ниво, а доловете (най-ниските цени) се намират на едно и също по-ниско ниво. Кривата, която наблюдаваме тук е силно идеализирана. Приели сме, че съществува един стабилен цикъл,  несмущаван нито от вътрешни нито от външни фактори – дружеството не променя финансовите си показатели, околната иконономическа среда не се променя и т.н., което на практика много рядко се случва на финансовите пазари. Стабилния цикъл в случая означава, че елипсата на фиг. 4 не се променя във времето. 3. Влияние на шока върху динамичната структура на системата . Дотук видяхме как очакванията на инвеститорите и тяхното групово поведение определят движението на цените при идеализирани условия. Очакванията на инвеститорите се влияят обаче, не само от текущите цени, но и от всяка друга информация, която касае текущото и бъдещо финансово състояние на дружеството с акциите, на което ще се оперира. Ако новата информация е близка до очакваната, системата цени-очаквания лесно ще я преодолее. Ако обаче новополучената информация рязко променя досегашните знания за дружеството и околната икономическа среда, тя ще има характера на шок (удар) върху системата цени-очаквания. Тогава системата ще трябва да промени динамичната си структура за да се справи с шока. Динамичната структура на системата цени-очаквания е всъщност многопластова, състои се от много пластове с различна йерархия. Всеки пласт е част от друг пласт с по-висока йерархия, а самия той съдържа пластове с по-ниска йерархия. Приблизителната представа за една такава структура е показана на фигура 7. Фиг. 7 Ситемата “в” (отбелязана на фигурата с дебела плътна линия) се съдържа в системата от по-високо йерархическо ниво “А”, а самата тя съдържа системите “1”, “2” и “3”. Системата „А” разбира се съдържа и системите „а” и „б”, които са от същата йерархия като системата „в”. Така че, когато системата “в” получи  шок тя оказва влияние както на системата от по-високо йерархическо ниво “А”, така и на системите от по-ниско йерархическо ниво  “1”, “2” и “3”. Промените, които се извършват в системите от по-високо йерархическо ново са по-бавни, по-продължителни и с по-голяма амплитуда. Те се стремят да подтиснат промените в системите с по-ниска йерархия. Виждаме, че когато една от системите получи шок настъпва сложно взаимодействие между нея и другите йерархични системи, както от по-висок ред, така и от по-нисък. Затова ще разгледаме реакцията на шока само в една “средна” йерархическа система и като използваме методите на фракталния анализ ще дорисуваме картината автоматично. 4. Реакция на системата след получаване на информационен шок . Нека да разгледаме реакцията на една система “очаквания-цени-време” от средно йерархическо ниво, когато е подложена на шок. Най-често това се случва в края на жизнения циkъл на една от борсовите групи. Ако това е групата на биковете, вече отбелязaхме, че когато всички си купят акции и търсенето се преустанови, цените спират да растат и веднага започват да се понижават. Когато всички очакват, че цените на акциите ще продължават да растат, а те неочаквано (за масовия инвеститор) започват да се понижават без за това да има видими причини, инвеститорската общност е подложена на шок. Ще нарисуваме познататa ни елипсовидна зависимост между цени и очаквания на фиг.  8. Координатните оси са в оранжев цвят, елипсата отразаваща зависимостта на цени-очаквания при нормални условия е в черен цвят, а профила на шока в син цвят. Фиг. 8 Какъвто и да е източника на шока (било неочаквано движение на цените или неочаквана информация), отговорът на пазара в общи линии е еднакъв. По точно процесът на възстановяване от шока възприема стандартен профил. На първо място самият шок се отразява в промяната на посоката на движение на цените, като засилва тази промяна. Самият шок е представен чрез “скок” навътре от траекторията на ограничения цикъл, когато промяната в цените пресича нулевата линия на V, т.е. линията Х. Следователно, когато един пазар се превръща от бичи в мечи, позицията на фаза плоскост ще скочи от точка “А” към точка “В” с навлизане на промяната на цените  в отрицателна територия. Скокът е навътре от траекторията защото е налице едновременно и спад в цените и понижаване на очакванията. Тъй като ограничения цикъл в основни линии е стабилен, от това следва, че отклонението в т. “В” ще се опита да се върне на траекторията на решението (основната елипса). Тогава събитията следват в следния ред: Първоначално цените могат да спаднат още след настъпване на шока, а това принуждава очакванията  да се променят още повече – проследяваме зелената линия. Падането на цените обаче се забавя и спира в т.”С “ на фиг. 8., защото в този момент продават само професионалистите. Мнозинството все още не е разпознало промяната и се радва на „временното” падане на възходящия по техни сметки тренд. Забавянето и спирането на спада на цените в т. „С”, в  крайна сметка  предизвикват похвата на “закриване на мечите позиции”. Напомняме, че мечите позиции се закриват с покупка. Това на свой ред води до повишаване на цените –участъка СД на фиг.8. След това покачване на цените, очакванията се подобряват, но в този момент възможностите на мнозинството да купува акции са ограничени. Мнозинството инвеститори вече държи доста акции в очакване тяхната цена да се увеличи. Ето защо увеличението на цените дължащо се само на шока не може да надмине предишния връх. Затова т. “D” се намира по-наляво от т. “А”. Има случаи когато, развитието на очакванията може да бъде доста драматично по отношение на промяната в цените и може да се окаже достатъчно за да ги изведе до нов връх. Но това може да стане само ако в момента се развива паралелно и тренд по-старши от този, който разглеждаме. С други думи казано, само ако се включи нова група инвеститори с по-дългосрочни инвестиции. При липсата на други влияния, само шока оказващ влияние върху групата на средносрочните инвеститори, които разглеждаме, няма да може да изведе цените към нов връх. Най-накрая, по-високите цени, които не могат да преодолеят предхождащия връх (в т. „А”) насърчават инвеститорите да извлекат някаква печалба като продад акциите си и цените отново започват да се плъзгат надолу. Намаляващите цени заедно с намаляване на очакванията предизвикват засилване на продажбите, което ги отвежда на изходната (основната елипса) траектория т. Е. Oт този анализ можем да извлечем три важни извода: 1. Процесът на възстановяване след шок има формата на спирала и връща подскочилата точка “В” отново върху траекторията като точка “Е”. 2. Ценовия връх, (т. А) който се намира точно преди шока се проверява повторно (т. D) по време на действие на спиралата. Повторния тест(проверка) е успешен, ако пазарните цени достигнат нов връх и неуспешен, ако те не успеят. Това е принципа на потвърждението, който по-нататък често ще се използува. 3. Очакванията се подобряват значително по време на повторния тест (отсечката CD), но в повечето случаи те спадат под нивото, до което са достигнали по време на първоначалния връх. Точка “D” се намира по-наляво от т. “А” в която (т. “А”) очакванията са по-големи. Модела на коригиране след шок по време на спадащи (мечи) пазари е същия, само че в обратна посока. Ще дадем само картинката без обяснения на фиг. 9. Фиг. 9 Дотук създадохме един идеален триетапен модел за смяна (реверсия) на цените както при бичия така и при мечия пазар. По-нататък този модел ще се нарича реверсивен модел. Общото при първия етап е, че както при бичия така и при мечия пазар малко преди абсолютния ценови връх (т. А) на фиг. 8 и малко преди абсолютния ценови дол (т. А) на фиг. 9, цялата група има едни и същи очаквания. Всички бикове очакват цените да растат още и всички които желаят да си купят акции вече са го направили. Затова този пазар се нарича свръхизкупен (overbought) (т. А) на фиг. 8. И обратно - всички мечки очакват цените да паднат още и всички които желаят да продадат акциите си вече са го направили. Затова този пазар се нарича свръхпродаден (oversold) (т. А) на фиг. 9. По-нататък ще се запознаем с механични индикатори, които разпознават кога пазара е  свръхизкупен или свръхпродаден, след което следва ценови спад или съответно ценови подем. Втория етап (дъгата CD) на фиг. 8 и фиг. 9 се състои от препотвърждаване (проверяване) на очакванията от предишната успяла група. Неуспешния тест при бичия пазар, когато цените не надминават ценовия връх ( т. D не отива след т.А фиг. 8), и неуспешния тест при мечия пазар, когато цените не спадат под ценовия дол ( т. D не отива след т.А фиг. 9) показват, че властващата група в момента не може повече да придвижва цените в своята посока. Третия етап, който е окончателен за реверсивния модел показва действително изменение в очакванията на групата. Този етап принуждава все повече членове на досегашната успяла група да променят мнението си и своите търговски позиции. Стресът и напрежението да видят, че техните търговски позиции се потвърждават от сегашния ход на цените кара инвеститорите ускорено да купуват при бичи пазар и ускорено да продават при мечи пазар. Следователно този трети етап поражда рязка промяна както в движението на цените, така и в обема на транзакциите. 5. Реакция на системата след получаване на информационен шок във времето . Досега разгледахме реакцията на системата в плоскостта очаквания-промяна на цените. Сега ще включим и третото измерение – времето Т. На фиг. 10 е показано с оранжева линия координатната система включваща и третото измерение - времето Т. Познатата ни елипса, която представлява зависимостта между очаквания и промяна на цените в собственната им плоскост е изчертана с черен цвят. Със светло синя плътна линия в същата плоскост е показана спираловидната реакцията на системата след като е подложена на шок. За тъмносинята спираловидна линия ще споменем след малко. Фиг. 10 Нека сега да си мислим, че черната елипсата, заедно със светлосинята спирала се движат паралелно на себе си по оста на времето, тъй като процесите се развиват във времето. Получения ефект е цилиндър в резултат на движещата се черна елипса и обемна разширяваща се спирала начертана с тъмносиня линия в резултат на движещата се светлосиня спирала. Така получения цилиндър и разширяваща се тъмно синя спирала показват реакцията на системата във времето. За разлика от фиг 5, където светлосинята спирала лежи върху цилиндъра, на фиг. 10 тъмносинята спирала не лежи върху цилиндъра, а се стреми към него. Светлосинята спирала в плоскостта и тъмносинята спирала в пространството са синхронизирани. Светлосинята спирала показва реверсия след мечи пазар във фазовата плоскост цени-очаквания, а тъмносинята - реверсия след мечи пазар, но вече в три измерения: цени-очаквания-време. Включване на времето като трето измерение в случая е много същественно, тъй като всъщност ние искаме да узнаем как се изменят цените във времето. Ще разгледаме движението на светлосинята и тъмносинята спирала в участъка от т. “А” до т. “Е”, които са разположени на една и съща права, образуваща цилиндъра в случая прекъснатата удебелена оранжева линия. Светлосинята спирала извършва спираловидно движение във фазовата плоскост (равнина) определено от ъгъл : Тъмносинята спирала трябва да извърши същото движение, само че в пространството, което съответства на времето от  т. “А” до т. “Е ”.  Ъгълът може да бъде и по-малък, тъй като кривата поже да се възстанови и по-рано, но не по-късно от т. Е, тъй като там очакванията за повишаване на цените са максимални. Ако кривата не се възстанови до т.”Е”, това означава, че се е намесил тренд от по-висока иерархия, което в тази точка няма да разглеждаме. Същите процеси с помощта на 3D графика са показани на фиг. 11. В този случай светлооранжевия цилиндър отразява движението на нормалната черна спирала във времето, а тъмносинята спирала се стреми да се разположи върху него, като го преследва във времето. Както отбелязахме вече тъмносинята спирала е проекцията на светлосинята във времето. Фиг 11 Нека да си мислим, че тъмносинята спирала се “смачква” в плоскостта определена от осите (V%) и (Т), при това точно в участъка от т. “А” до т. “Е” . Резултаът от тази проекция е показан на фиг. 12. Фиг. 12 По вертикалната ос е нанесена процентната промяна на цените, а по хоризонталната времето в дни. Първия етап от реверсивния модел започва от условния нулев ден и завършва на 10-ти ден. През този етап процентната промяна първоначално нараства до 5%, а след това започва да намалява и в последния 10-ти ден става равна на нула. В този момент абсолютните цени са най-високи. Не забравяме, че процесите вече протичат във времето, по оста Т. Втория етап започва от 10-тия ден и свършва на 16-тия ден. Този етап е по-кратък и неговата амплитуда(-3%) е по-малка от първия(+5%). Тук процентната промяна е отрицателна и следователно цените започват да намаляват. В края на този период промяната отново е 0%. Сега абсолютните цени са най-ниски. Третия етап започва от 16 ден и завършва на 32 ден, а амплитудата е +8%. Този етап е най-продължителен и с най-голяма амплитуда. Промяната е отново положителна, а в края на периода е отново равна на 0%. Абсолютните цени са отново най-високи. Съотношенията на периодите и амплитудите са избрани както отношенията на числата 5:3:8, които числа са част от редицата на Фибоначи, която ще разгледаме по-късно. 6. Изменение на абсолютните цени във времето . Досега непрекъснато говорехме за процентната промяна на цените т.е. за скоростта,  с която се променят цените. За да намерим как се изменят абсолютните цени, т.е. самите цени, ще интегрираме процентната промяна на фиг. 12, която в случая е първа производна на абсолютните цени . Действието интегриране се извършва съгласно формулата (2), а резултата е показан на  фиг. 13. Формула  2 където:  P – абсолютни цени. C – интеграционна константа. V – процентна промяна. Интеграционната константа С отразява първоначалните условия: При t=to (фиг.13) имаме C = Po, т. е. в първоначалния момент, когато започваме да проследяваме движението на цените, интеграционната константа е равна на текущата цена в момента to. Фиг. 13 Изменението на V%(t) е дадено на горната част от картинката на фиг. 13 и то е същото, като на фиг. 12. В долната част на фиг. 13 е дадено изменението на абсолютните цени P(t). От математиката знаем, че където първата производна V%(t) е положителна, функцията P(t) нараства, а където производната е отрицателна – функцията намалява. Затова по време на първия етап от реверсивния модел, функцията P(t) непрекъснато нараства до времето t1, където производната V%(t) става равна на нула. След това цените Р започват да намаляват до точка t2 , но е много важно да отбележим, че те не могат да достигнат първоначалното ниво  Ро при нормални условия. Точка t2  съответства на точка “D” от фазовата плоскост фиг.9.  Както вече отбелязахме третия етап е най-продължителен и най –динамичен. Той отвежда цените на нива значително по-високи от тези в точка t1.  Именно на този етап на инвеститорите става ясно, че посоката на движение на цените се е сменила и пазара уверено се движи в новата посока. Цените в точка t3  съответстват на т. “Е”  от фазовата плоскост, когато тя се е преместила на нивоV% = 0 (елипсата пресича абцисата в дясно на фиг. 9), отбелязана още като “ценови връх”.  Много важно: Учените, които изследват движението на цените на финансовите пазари са установили, че кривите, които начертахме на фиг. 13 по време на триетапния реверсивен модел са част от логаритмичната спирала с основа златното сечение, от което следват важни съотношения. Това твърдение засега ще го приемем на доверие, а  по-нататък ще начертаем логаритмичната спирала и ще я сравним с кривата на фиг. 13. Етап I  на модела отразява влиянието на шока, а етапи II и III отразяват спиралата, генерирана от този шок. Картинката, която нарисувахме на фиг. 13 е за пазара, когато той се намира в бича фаза. Картинката за мечата фаза се получава като разсъждаваме в обратна посока, което вече сме правили. Затова мечата фаза ще нарисуваме направо сглобена с бичата фаза. 7. Ценови пулс . На фиг. 14 са съчетани двата реверсивни триетапни модела, както за мечата така и за бичата фаза. В резултат се получава един единствен модел, представляващ завършен цикъл, който се нарича “Ценови пулс”. Фиг.14 В модела наречен “ценови пулс” веднага се вижда, че мечата фаза е по-стесненена от бичата, което не бе очевидно във фазовата плоскост. Тази асиметрия се дължи на факта, че страхът да не се пропусне печалба е по-различeн от страха да не се загубят пари. Страхът от загуби е по-голям и затова продажбите протичат  за по-кратко време и с по-голяма интензивност. Ето защо когато на власт са биковете процесите на финансовите пазари са по-плавни, по-продължителни, а наклона на графиките е по-малко стръмен, отколкото в случая, когато пазара има мечи характер.  Интересно е да се отбележи до каква степен страхът играе определена роля при тези модели. Страхът се свързва най-често с чувства на изолираност, неадекватност и несигурност. Той се развива внезапно, когато очакванията произхождат от действителни събития и бива облекчен единствено чрез бягство или друго подобно действие. Следователно на финансовите пазари страхът продължава да съществува докато неуспешните търговски позиции бъдат неутрализирани. Това означава, че първоначално преди първия етап от реверсивния модел пазарите биват свръхразширени (свръхизкупени или свръхпродадени) или поради страха да не се изпуснат допълнителни печалби (на бичия пазар), или поради страха да не се допуснат някакви загуби (на мечия пазар). Това гарантира, че на първия етап цените ще се променят в обратна посока и тогава следва шок у инвеститорите в  резултат на внезапната промяна на цените. Тази ситуация създава атмосфера на страх, но инвеститорите не знаят какво трябва да направят и техните действия за избягване от ситуацията са ограничени, т.е. малка част от биковете купуват за да се възползват от по-ниските цени, респективно на мечия пазар – малко мечки продават за да се възползват от по-високите цени. На втория етап повторния тест на предишния връх (от биковете) или спад (от мечките) разсейва страховете, породени от шока, но съмненията остават. На третия етап цените се движат упорито в разрез с убеждението на мнозинството. С други думи, когато започне трети етап на един бичи пазар, мнозинството все още ще си мисли, че пазара е мечи, защото на втория етап цените действително спадат. На мечия пазар е обратно – когато започне трети етап на един мечи пазар, мнозинството все още ще си мисли, че пазара е бичи, защото на втория етап цените действително се покачват. След като мнозинството види, че цените се движат в разрез с неговите очаквания, страхът започва да нараства неимоверно много. Този страх принуждава мнозинството инвеститори или да купуват интензивно акции на бичия пазар или да продават интензивно на мечия пазар. От това естествено следва, че в края на третия етап пазарите ще са свръхразширени. След това цикъла се повтаря. Очевидно е обаче, че страхът да не се загубят реално пари е много по-голям от страха да не се пропуснат допълнително печалби. Затова и мечата фаза на фиг. 14 е по-стеснена и по-стръмна. Да обобщим най-важните характеристики на математическия модел, който нарекохме ценови пулс фиг 14: - бичите фази се редуват с мечи фази; - всеки реверсивен модел на върха или дъното се състои от три етапа; - промените в цените се колебаят между долни и горни граници; - промените в цените се колебаят ритмично във времето. 8. Логаритмичната спирала . Основното уравнение, което описва логаритмичната спирала в полярни координати се задава с формула 3: Формула 3 където: ρ - полярен радиус на спиралата. ρ0 - първоначалния радиус на спиралата, когато времето t=0 .  q - коефициент, който определя ръста на спиралата. φ- полярния ъгъл, на който е завъртяна спиралата (полярния радиус). Ако този ъгъл е 2π , това означава, че спиралата е направила един оборот, ако е 4π , два оборота и т.н. Числото q е произволно и то определят размерите (ръста) на спиралата. Нека да предположим, че :  ρ0= 1  q = 2, тогава формула (3) на спиралата  се преобразува на: Формула 4 Нека сега на аргумента „ φ ” да зададем стойностите  0,  2π и 4π и по формула (4) да изчислим съответно  ρ0 , ρ1 , и  ρ2. Ако  φ = 0,           то  ρ0 = 20 = 1 ако  φ = 2π ,        то  ρ1 = 21 = 2 ако   φ = 4π,        то  ρ2 = 22 = 4 и т.н. Като  използваме тези стойности можем да начертаем логаритмичната спирала на фиг. 15: Фиг. 15 Фазовата равнина, в която е начертана спиралата е образувана от декартовите координати “x” и  “y”. Без да се впускаме в подробности, как става преобразуване на декартови координати в полярни, направо ще отбележим, че спиралата е начертана с плътна линия на фиг. 14, като образуващ в случая е полярния радиус “р”. За да си представим по-ясно образуващия радиус, можем да си мислим, че той прилича на часовникова стрелка, която се върти се от ляво на дясно и неговия връх описва спиралата. Oт фиг. 15 се вижда, че когато ъгъл “ф” е равен на ф=0, полярния радиус “р”съвпада с координатата “y” и съответно p=p0 = 1.  Това е плътната стрелка “р0” на чертежа. Когато ъгъл “ф” се завърти на дясно с 2π , или  един оборот, полярния радиус “р”отново съвпада с координатата “y”, но вече постепенно е нараснал  до р = p1 =2. На чертежа това е прекъсната дебела стрелка леко отместена в ляво от координатната ос “y” за да се вижда по-добре. Отново въвеждаме времето “T”, като трета координата и си мислим, че фазовата равнина, а заедно с нея и спиралата, се движат успоредно на себе си във времето. След това проектираме обемната спирала в равнината, определена от осите “y” и “Т”. Тъй като това вече сме го правили, ще коментираме направо крайния резултат – получената проекция е прекъснатата дебела линия, която започва на ниво „1” и завършва на ниво „2” на фиг. 15. Нека сега да сравним прекъснатата дебела линия на фиг. 15 с линията от фиг. 13, която описва движението на цените на II и III етап, което пък е следствие на реакцията на инвеститорите след получаване на шок в I етап. Приликата между тези две линии съвсем не е случайна. Размерите може и да не са едни и същи, но формата е една и съща. И това е така, защото реакцията на инвеститорите е част от един по-общ процес в природата, елементите на който вече разгледахме в някаква степен – груповото поведение на инвеститорите, жизнения цикъл на двете групи, връзката на ограничен цикъл между очакванията на инвеститорите и формирането на цените, влиянието на обратната връзка на цените върху инвеститорите и психологията на страха, когато инвеститорите са подложени на шок. Извод: Реакцията на инвеститорите след получаване на шок( I етап) предизвиква движение на цените по законите на логаритмичната спирала( II  и III етап)! Това е едно важно откритие, защото ни дава възможност да правим разчети в нашите прогнози до какви нива са възможни движенията на цените. С други думи – след като реакцията на инвеститорите има формата на част от логаритмичната спирала, достатъчно е да знаем параметрите на спиралата  за да разберем до какви нива ще се предвижат цените, преди да сменят посоката си. Нещо повече – оказва се, че и размерите на спиралата не са случайни. Числото “q”, което определя ръста на логаритмичната спирала представлява така нареченото “златно сечение” или неговите съотношения. По-горе ние избрахме q=2, за да начертаем по-лесно спиралата, а същността на Златното сечение ще разгледаме в следващите редове. 9. Числата на Фибоначи и златното сечение . Източник на всички спирали е геометричната прогресия. Всяко число в геометричната прогресия се получава от предходното, като се умножи с някакъв множител. Най-позната е геометричната прогресия, при която всяко следващо число се получава, като предходното се удвои, а именно: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. н. Тук постоянния множител е 2, както ние го избрахме q = 2 на фиг. 15. От всички геометрични прогресии, които съществуват в природата, има една особена, която стои над останалите по своето значение. Това е редицата на Фибоначи, която се базира на показателя q=1.618. Тази редица носи името на Леонардо от Пиза, който пишейки под името Фибоначи, публикува през 1202г. своята прочута “Liber Abaci” – Книга на изчисленията. Редицата на Фибоначи се получава като всеки неин член е равен на сумата от предните два: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. н. 2=1+1 3=2+1 5=3+2 8=5+3 13=8+5 и т.н. Вижда се, че отношението между даден член и предходния съседен члена е 1.618. В началото на редицата има известно отклонение, но при по-големите числа отклонението е нищожно. 3/2 = 1.5 5/3 = 1.666 13/8 = 1.625 89/55 = 1.6181 144/89 = 1.6179 377/233 = 1.6180 Обратното на 1.618 е 0.618 т.е. 1/1.618 = 0.6180 Следователно отношението на всеки член към следващия  е 0.618 233/377 = 0.6180 144/233 = 0.6180 89/144 = 0.6180 и т. н. Друга интересна особеност на редицата е, че ако разделим даден член на предходния през един съотношението е 2.618. 377/144 = 2.6180 Обратното на 2.618 е 0.382, т. е. 1/2.618  = 0.38197=0.382 Ако разделим даден член на следващия през един резултата е 0.382. 144/377 = 0.38196 = 0.382 Такива съотношения могат да се направят и за други равноотдалечени членове. Например съотношението на даден член през два(третия съседен) е съответно 4.236 и 0.236 и т. н. Други важни съотношения: 1/1.618 = 0.618 0.618 х 0.618 = 0.382 1.618 х 1.618 = 2.618 2.618 х 1.618 = 4.236 1 – 0.618 = 0.382 0.382 + 0.618 = 1 1.618/0.618 = 2.618 0.618/1.618 = 0.382 0.382 х 0.382 = 0.146 Очевидно е обаче, че основните съотношения са 1.618 и 0.618. Другите по същество са производни. Числото 1.618 е познато като златно сечение. Златното сечение е известно и в геометрията. То е решение на задачата: Всяка отсечка може да се раздели на две по такъв начин, че отношението на по-голямата отсечка към по-малката да е равно на отношението на цялата отсечка към по-голямата. Тази отсечка е показана на фиг. 16. Фиг. 16 Това съотношение е равно точно на 1.618 Логаритмичната спирала, която има за основа златното сечение се нарича Златна спирала.    10. Основни съотношения на Златната спирала . С други думи, при q = 1.618 логаритмичната спирала от фиг. 15 се превръща в Златната спирала.    Ние вече установихме, че всички точки от една логаритмична спирала са свързани помежду си. Следователно спираловидните корекции на финансовите пазари би трябвало да отговарят на същите зависимости. Всяка извивка от тази спирала е свързана с предхождащата я посредством логаритмичен показател. В златната спирала този показател q e равен на: q = 1.618 и неговите производни. За да отразим по-точно наличието на производни, записваме: Формула 5 Къдетo:  “n” отразява динамиката на финансовите пазари.     При n = 21 = 2 – слаба динамика,     При n = 22 = 4 – умерена динамика     При n = 23 = 8 – силна динамика При умерена динамика на финансовите пазари n = 4 и следователно: Формула (3) се преобразува на формула (6) : Формула 6 като не забравяме, че 1.618 * 1.618 = 2.618. С други думи , когато пазара смени посоката си, т. е. когато  φ = π , движението на цените в новата посока ще зависи от движението на цените в старата посока в съответната пропорция. Извода от тази формула е много важен: Придвижването на цените през третия етап на реверсивния модел е 2.618 пъти по-голямо от придвижването на цените през втория етап за пазарите с умерена динамика. Вече сме готови да начертаем единичния ценови пулс показан на фиг. 14, като използваме пропорциите на Златната спирала. Това е показано на фиг. 17. Фиг. 17 На фиг. 17 с “Р” са означенини съответните цени, а с “р” първоначалния полярен радиус на Златната спирала. Съотношения: Р4 = Р1 + 2.618*р = Р1 + 2.618*( Р2  - Р1 )          Формула (7) Tова съотношение показва, че ако цените Р1 и Р2  са известни по време на втората фаза от реверсивния модел при бичи пазари, то в края на третата фаза ще се формира цената  Р4, която лесно се пресмята от дадената формула. По същия начин се пресмята и цената  Р5  в края на третия етап по време на мечата фаза: Р5 = Р3 - 2.618*р = Р3 - 2.618*( Р3  - Р2 )          Формула (8) Тези формули ни дават възможност лесно да прогнозираме цените в края на бичата и мечата фаза на финансовите пазари. Трябва веднага обаче, да припомним ограничителните условия, при които изведохме тези формули: -    наличие на стабилен цикъл, т.е. освен промяна в очакванията на инвеститорите останалите параметри на финансовия пазар за определен период от време са постоянни. -    развитие на процесите само в едно йерархическо ниво. -    наличие на шок по време на стабилния цикъл, който отвежда цените на друга траектория с променени очаквания. -    движението на цените става с умерена динамика. Ограниченията на четвъртото условие могат да се коригират, като за слаби пазари избираме n = 2, a за силни n = 8 във формула 5. Тогава формула 7 и 8 се преобразуват съответно на :  При слаб бичи пазар        n = 2     Р4 = Р1 + 1.618*р = Р1 + 1.618*( Р2  - Р1 )      При слаб мечи пазар        n = 2     Р5 = Р3 + 1.618*р = Р3 -  1.618*( Р3  - Р2 )    При силен бичи пазар      n = 8      Р4 = Р1 + 4.236*р = Р1 + 4.236*( Р2  - Р1 )     При силен мечи пазар      n = 8      Р5 = Р3 + 4.236*р = Р3 -  4.236*( Р3  - Р2 )  Останалите ограничителни условия постепенно ще елиминираме по-нататък, което съществено ще усложни математическия модел на финансовите пазари. При споменатите ограничителни условия са верни и други съотношения:      Р1 = Р2 -  0.618*( Р2  - Р0 )                  Р6 = Р4 -  0.618*( Р4  - Р1 )    Това са така наречените преповторения, които ще разгледаме по-нататък.        Р3 = Р2 + 0.618*( Р4  - Р2 )                  Р3 = Р4 -  0.382*( Р4 – Р2 )                  Р4  - Р2  = Р2  - Р0                                       Р4  - Р3 = 0.382*(Р2  - Р0)                     Р4  - Р3  = Р1  - Р0                                       Р3  - Р2  = Р2  - Р1                                   Както и още други производни. Нивата на цените  Р1, Р2,  Р3, Р4, Р5, и Р6  се изчисляват автоматично на графиките в търговските терминали на брокерите при натискане на бутон “Линии на Фибоначи” До тук разгледахме “идеалния” математически модел, наречен още “Единичен ценови пулс”, в пропорции определени от Златната спирала. Тези пропорции ни дават възможност сравнително точно да прогнозираме бъдещите ценови равнища. След хубавата новина, обаче следва друга, не толкова хубава. Разгледания модел е в едно единствено йерархическо ниво – начертаната с дебела линия  елипса на фиг. 7. Математическия модел съществено се усложнява като включим и други йерархически нива, както на по-ниско равнище, така и на по-високо.